Consigne: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline f(n)&2&3&5&7&1&4&8&10&9&6\\ \hline g(n)&10&9&8&1&2&3&7&6&4&5\end{array}$$
Calculer \(\epsilon(f^{2022}gf^{-46}g^{2023}f)\)
Séparer les compositions et simplifier les puissances paires
$$\begin{align}\epsilon(f^{2022}gf^{-46}g^{2023}f)&=\epsilon(f^{2022})\epsilon(g)\epsilon(f^{-46})\epsilon(g^{2023})\epsilon(f)\\ &=\epsilon(f)\end{align}$$
Écrire \(f\) comme des cycles pour obtenir sa signature et conclure
Or, \(f=(1235)(4\,7\,8\,10\,6)\) donc le signe de \(f\) est $$\epsilon(f)=(-1)^{3}\times(-1)^4=-1$$
On a donc \(\epsilon(f^{2022}gf^{-46}g^{2023}f)=-1\)
(Signature d’une composition de permutations)